Упр.24.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin x cos 3x + cos x sin 3x > 1/2; б) cos 2x cos 5x — sin 2x sin 5x < -1/3; в) sin x cos x/2 + cos x sin x/2 = < -2/7; г) cos x/2 cos x/4 - sin x/2 sin x/4 > корень2 / 2.

а) $$\sin 5x\cdot \cos 3x-\cos 5x\cdot \sin 3x>\frac12$$

По формуле разности синусов:

$$\sin(5x-3x)>\frac12$$

$$\sin 2x>\frac12$$

Тогда

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Делим на 2:

$$\frac{\pi}{12}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\cos x\cdot \cos \frac{x}{2}+\sin x\cdot \sin \frac{x}{2}<-\frac27$$

По формуле косинуса разности:

$$\cos\left(x-\frac{x}{2}\right)<-\frac27$$

$$\cos \frac{x}{2}<-\frac27$$

Пусть $$t=\frac{x}{2}$$. Тогда

$$\arccos\left(-\frac27\right)+2\pi n<t<2\pi-\arccos\left(-\frac27\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Умножаем на 2:

$$2\arccos\left(-\frac27\right)+4\pi n<x<4\pi-2\arccos\left(-\frac27\right)+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$\sin \frac{x}{4}\cdot \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{4}\cdot \sin \frac{x}{2}<\frac13$$

По формуле синуса разности:

$$\sin\left(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}\right)<\frac13$$

$$\sin\left(-\frac{x}{4}\right)<\frac13$$

$$-\sin \frac{x}{4}<\frac13$$

$$\sin \frac{x}{4}>-\frac13$$

Тогда

$$-\arcsin\frac13+2\pi n<\frac{x}{4}<\pi+\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Умножаем на 4:

$$-4\arcsin\frac13+8\pi n<x<4\pi+4\arcsin\frac13+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$\sin 2x\cdot \sin 5x+\cos 2x\cdot \cos 5x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

По формуле косинуса разности:

$$\cos(5x-2x)>-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\cos 3x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

Значит,

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<3x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Делим на 3:

$$-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{12}+\pi n<x<\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$2\arccos\left(-\frac27\right)+4\pi n<x<4\pi-2\arccos\left(-\frac27\right)+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$-4\arcsin\frac13+8\pi n<x<4\pi+4\arcsin\frac13+8\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.