Упр.24.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) sin 5x cos 3x — cos 5x sin 3x > 1/2; б) cos x cos x/2 + sin x sin x/2 < -2/7; в) sin x/4 cos x/2 - cos x/4 sin x/2 < 1/3; г) sin 2x sin 5x + cos 2x cos 5x > — корень3 / 2

Подробный ответ

По условию $$\sin \beta=-\frac{12}{13}, \quad \cos \alpha=-0{,}8, \quad \pi<\beta<\frac{3\pi}{2}, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

Так как $$\beta$$ лежит в третьей четверти, то $$\cos \beta<0$$:

$$ \cos \beta=-\sqrt{1-\sin^2\beta} =-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} =-\sqrt{\frac{25}{169}} =-\frac{5}{13}. $$

Так как $$\alpha$$ лежит во второй четверти, то $$\sin \alpha>0$$:

$$ \cos \alpha=-0{,}8=-\frac45, $$

$$ \sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{25}} =\frac35. $$

а)

$$ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. $$

$$ \sin(\alpha-\beta)=\frac35\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)-\left(-\frac45\right)\cdot\left(-\frac{12}{13}\right) =-\frac{15}{65}-\frac{48}{65} =-\frac{63}{65}. $$

б)

$$ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. $$

$$ \cos(\alpha-\beta)=\left(-\frac45\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac35\cdot\left(-\frac{12}{13}\right) =\frac{20}{65}-\frac{36}{65} =-\frac{16}{65}. $$