Упр.24.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что sin b = — 12/13, cos a = -0,8, пи < b < 3пи/2, пи/2 < a < пи, вычислите: a) sin (a-b); б) cos (a-b).

Подробный ответ

Так как $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то угол $$a$$ лежит во второй четверти, значит $$\cos a<0.$$ Тогда

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac35.$$

Так как $$\pi<b<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$b$$ лежит в третьей четверти, значит $$\sin b<0.$$ Тогда

$$\sin b=-\sqrt{1-\cos^2 b}=-\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2}=-\sqrt{\frac{64}{289}}=-\frac{8}{17}.$$

а) Используем формулу разности синусов:

$$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.$$

Подставим значения:

$$\sin(a-b)=\frac45\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)-\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac{8}{17}\right)=-\frac{60}{85}-\frac{24}{85}=-\frac{84}{85}.$$

б) Используем формулу разности косинусов:

$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$

Подставим значения:

$$\cos(a-b)=\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)+\frac45\cdot\left(-\frac{8}{17}\right)=\frac{45}{85}-\frac{32}{85}=\frac{13}{85}.$$