Упр.24.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что sin t = 5/13, Пи/2 < t < Пи, вычислите: a) sin(Пи/3-t) б) cos(t-Пи/2) в) sin(Пи/2-t) г) cos(Пи/3-t)

Так как $$\sin t=\frac{5}{13}$$ и $$\frac{\pi}{2}<t<\pi,$$ то угол $$t$$ лежит во II четверти, значит

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t}=-\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}.$$

Теперь используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos t-\cos\frac{\pi}{3}\sin t,$$

$$\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=\cos t\cos\frac{\pi}{2}+\sin t\sin\frac{\pi}{2},$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\cos t,$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos t+\sin\frac{\pi}{3}\sin t.$$

Подставим значения $$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},$$ $$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,$$ $$\cos\frac{\pi}{2}=0,$$ $$\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

а)

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)-\frac12\cdot\frac{5}{13}=-\frac{12\sqrt3+5}{26}.$$

б)

$$\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot 0+\frac{5}{13}\cdot 1=\frac{5}{13}.$$

в)

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\cos t=-\frac{12}{13}.$$

г)

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\frac12\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{5}{13}=\frac{5\sqrt3-12}{26}.$$

Ответ

а) $$-\frac{12\sqrt3+5}{26}$$; б) $$\frac{5}{13}$$; в) $$-\frac{12}{13}$$; г) $$\frac{5\sqrt3-12}{26}$$.