Упр.24.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что sin а = 9/41, sin B = -40/41, 0 < а < Пи/2, 3Пи/2 < B < 2Пи, найдите значение выражения: a) sin (а + B); б) cos (а + B).

Подробный ответ

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$, то угол $$\alpha$$ лежит в первой четверти, значит

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{9}{41}\right)^2}=\sqrt{\frac{1600}{1681}}=\frac{40}{41}.$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi$$, то угол $$\beta$$ лежит в четвёртой четверти, значит

$$\cos \beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\left(-\frac{40}{41}\right)^2}=\sqrt{\frac{81}{1681}}=\frac{9}{41}.$$

Тогда

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{9}{41}\cdot\frac{9}{41}+\frac{40}{41}\cdot\left(-\frac{40}{41}\right)=\frac{81-1600}{1681}=-\frac{1519}{1681}.$$

И

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\frac{40}{41}\cdot\frac{9}{41}-\frac{9}{41}\cdot\left(-\frac{40}{41}\right)=\frac{360+360}{1681}=\frac{720}{1681}.$$