Упр.24.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что sin а = 4/5, cos B = —15/17, Пи/2 < а < Пи, Пи/2 < a < Пи, найдите значение выражения: a) sin (а + B); б) cos (а + B).

Подробный ответ

Так как $$\sin \alpha=\frac{8}{17}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, значит

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=-\sqrt{\frac{225}{289}}=-\frac{15}{17}.$$

Так как $$\cos \beta=\frac{4}{5}$$ и $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\beta$$ лежит в I четверти, значит

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

а) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Подставим значения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\frac{8}{17}\cdot\frac{4}{5}+\left(-\frac{15}{17}\right)\cdot\frac{3}{5}=\frac{32-45}{85}=-\frac{13}{85}.$$

б) Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Подставим значения: