Упр.24.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Упростите выражение: a) sin (а + B) — sin а cos B; б) sin (Пи/3 + a) — 1/2 sin а; в) sin а sin B + cos (а + B); г) cos (а+Пи/4) + корень2/2 sin а.

1. $$\sin(a+\beta)-\sin a\cdot \cos\beta$$

   Используем формулу суммы:

   $$\sin(a+\beta)=\sin a\cdot \cos\beta+\cos a\cdot \sin\beta$$

   Тогда

   $$\sin a\cdot \cos\beta+\cos a\cdot \sin\beta-\sin a\cdot \cos\beta=\cos a\cdot \sin\beta$$

2. $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)-\frac12\sin a$$

   По формуле суммы:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cdot \cos a+\cos\frac{\pi}{3}\cdot \sin a$$

   Подставим значения:

   $$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{3}=\frac12$$

   Получаем:

   $$\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a-\frac12\sin a=\frac{\sqrt3}{2}\cos a$$

3. $$\sin a\cdot \sin\beta+\cos(a+\beta)$$

   Раскроем косинус суммы:

   $$\cos(a+\beta)=\cos a\cdot \cos\beta-\sin a\cdot \sin\beta$$

   Тогда

   $$\sin a\cdot \sin\beta+\cos a\cdot \cos\beta-\sin a\cdot \sin\beta=\cos a\cdot \cos\beta$$

4. $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\sin a$$

   Используем формулу:

   $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\cos a\cdot \cos\frac{\pi}{4}-\sin a\cdot \sin\frac{\pi}{4}$$

   Так как

   $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$

   то

   $$\frac{\sqrt2}{2}\cos a-\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\sin a=\frac{\sqrt2}{2}\cos a$$

Ответ

а) $$\cos a\cdot \sin\beta$$;
б) $$\frac{\sqrt3}{2}\cos a$$;
в) $$\cos a\cdot \cos\beta$$;
г) $$\frac{\sqrt2}{2}\cos a$$.