Упр.24.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что sin а = 8/17, cosB = 4/5, 0 < а < Пи/2, 0 < B < Пи/2 найдите значение выражения: a) sin (а + B); б) cos (а + B).

Подробный ответ

Так как $$\sin \alpha=\frac{8}{17}$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}.$$

Так как $$\cos \beta=\frac{4}{5}$$ и $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

а) Найдём $$\sin(\alpha+\beta)$$:

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta =\frac{8}{17}\cdot\frac{4}{5}+\frac{15}{17}\cdot\frac{3}{5} =\frac{32}{85}+\frac{45}{85} =\frac{77}{85}. $$

б) Найдём $$\cos(\alpha+\beta)$$:

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta =\frac{15}{17}\cdot\frac{4}{5}-\frac{8}{17}\cdot\frac{3}{5} =\frac{60}{85}-\frac{24}{85} =\frac{36}{85}. $$