Упр.24.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Зная, что cos t = -5/13, Пи/2 < t < Пи, вычислите: a) sin(t+Пи/6) б) cos(t+3Пи/2) в) cos(t+Пи/6) г) sin(t+3Пи/2)

Так как $$\cos t=-\frac{5}{13}$$ и $$\frac{\pi}{2}

Найдём синус:

$$ \sin t=\sqrt{1-\cos^2 t} =\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{25}{169}} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}. $$

Теперь используем формулы сложения:

$$ \sin\left(t+\frac{\pi}{6}\right)=\sin t\cos\frac{\pi}{6}+\cos t\sin\frac{\pi}{6}, $$

$$ \cos\left(t+\frac{3\pi}{2}\right)=\cos t\cos\frac{3\pi}{2}-\sin t\sin\frac{3\pi}{2}, $$

$$ \cos\left(t+\frac{\pi}{6}\right)=\cos t\cos\frac{\pi}{6}-\sin t\sin\frac{\pi}{6}, $$

$$ \sin\left(t+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin t\cos\frac{3\pi}{2}+\cos t\sin\frac{3\pi}{2}. $$

Подставим значения $$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},$$ $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ $$\cos\frac{3\pi}{2}=0,$$ $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1.$$

a)

$$ \sin\left(t+\frac{\pi}{6}\right) =\frac{12}{13}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\left(-\frac{5}{13}\right)\cdot\frac12 =\frac{12\sqrt3-5}{26}. $$

б)

$$ \cos\left(t+\frac{3\pi}{2}\right) =-\sin t =-\frac{12}{13}. $$

в)

$$ \cos\left(t+\frac{\pi}{6}\right) =\left(-\frac{5}{13}\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{12}{13}\cdot\frac12 =-\frac{5\sqrt3+12}{26}. $$

г)

$$ \sin\left(t+\frac{3\pi}{2}\right) =-\cos t =\frac{5}{13}. $$

Ответ

а) $$\frac{12\sqrt3-5}{26}$$; б) $$-\frac{12}{13}$$; в) $$-\frac{5\sqrt3+12}{26}$$; г) $$\frac{5}{13}$$.