Упр.24.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения на заданном промежутке: a) корень2/2 sin x + корень2/2 cos x = 1 б) sin x + cos x = 1 в) корень3/2 cos x — 1/2 sin x = 1 г) корень3 cos x — sin x = 1

1. а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$

   $$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=1$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1$$

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. б) $$\sin x-\cos x=1$$

   Умножим обе части на $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1$$

   $$\cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin\frac{\pi}{6}\sin x=1$$

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$$

   $$x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. г) $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$$

   Умножим обе части на $$\frac{1}{2}$$:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}$$

   $$\cos\frac{\pi}{6}\cos x-\sin\frac{\pi}{6}\sin x=\frac{1}{2}$$

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$$

   $$x+\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.