Упр.24.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения на заданном промежутке: a) корень2/2 sin x — корень2/2 cos x = 1 б) sin x — cos x = 1 в) корень3/2 cos x + 1/2 sin x = 1 г) корень3 cos x + sin x = 1

1. а)

   $$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x=0{,}5$$

   Раскроем косинус разности:
   $$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x+\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)-\cos x=\frac12.$$

   Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ получаем:
   $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)-\cos x=\frac12,$$
   $$\cos x+\sin x-\cos x=\frac12,$$
   $$\sin x=\frac12.$$

   Тогда
   $$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б)

   $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Раскроем синус разности:
   $$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Подставим значения тригонометрических функций:
   $$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$
   $$\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$
   $$\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда
   $$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   откуда
   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в)

   $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac12\sin x=1$$

   Представим левую часть как одну тригонометрическую функцию:
   $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac12\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда
   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1,$$
   значит
   $$x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г)

   $$\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$$

   Запишем левую часть в виде одной функции:
   $$\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда
   $$2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1,$$
   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

   Отсюда
   $$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   значит
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \ \text{или}\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$