Упр.24.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения на заданном промежутке: a) sin 0,2x cos 0,8x + cos 0,2x sin 0,8x = cos 3x cos 2x + sin 3x sin 2x, x принадлежит [0; ЗПи]; б) cos 0,7x cos 1,3x — sin 0,7x sin 1,3x = sin 7x cos 9x — sin 9x cos 7x, x принадлежит [-Пи; Пи].

Подробный ответ

а) Используем формулы суммы в произведение:

$$ \sin 0{,}2x \cos 0{,}8x + \cos 0{,}2x \sin 0{,}8x = \sin(0{,}2x+0{,}8x)=\sin x, $$
$$ \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x = \cos(3x-2x)=\cos x. $$
Тогда уравнение принимает вид
$$ \sin x=\cos x. $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ \sin x-\cos x=0. $$
Это равносильно
$$ \sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0, $$
откуда
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. $$
На промежутке $$[0;3\pi]$$ получаем:
$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}. $$

б) Преобразуем левую и правую части:

$$ \cos 0{,}7x \cos 1{,}3x-\sin 0{,}7x \sin 1{,}3x=\cos(0{,}7x+1{,}3x)=\cos 2x, $$
$$ \sin 7x \cos 9x-\sin 9x \cos 7x=\sin(7x-9x)=\sin(-2x)=-\sin 2x. $$
Тогда уравнение:
$$ \cos 2x=-\sin 2x. $$
Перепишем:
$$ \sin 2x+\cos 2x=0, $$
$$ \sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0. $$
Следовательно,
$$ 2x+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}, $$
$$ x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}. $$
На промежутке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:
$$ x\in\left\{-\frac{7\pi}{8},-\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8}\right\}. $$