Упр.24.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) cos 6x cos 5х + sin 6x sin 5x = -1; б) sin Зx cos 5x — sin 5x cos Зx = 0,5.

1. а) Используем формулу суммы:

   $$\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = \cos(6x-5x)=\cos x.$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$\cos x=-1.$$

   Отсюда

   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Наименьший положительный корень:

   $$x=\pi.$$

2. б) Преобразуем левую часть по формуле синуса разности:

   $$\sin 3x \cos 5x-\sin 5x \cos 3x=\sin(3x-5x)=\sin(-2x)=-\sin 2x.$$

   Получаем

   $$-\sin 2x=0{,}5,$$

   то есть

   $$\sin 2x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$2x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad 2x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{12}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Наименьший положительный корень:

   $$x=\frac{7\pi}{12}.$$

Ответ

а) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z};$$ наименьший положительный корень $$\pi$$.

б) $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi k \text{ или } x=\frac{7\pi}{12}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z};$$ наименьший положительный корень $$\frac{7\pi}{12}.$$