Упр.24.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьший (в градусах) положительный корень уравнения: a) sin x cos 45° + cos x sin 45° = cos 17° cos 13° — sin 17° sin 13°; б) cos x cos 45° + sin x sin 45° = sin 200° cos 80° — cos 200° sin 80°.

1. а) Используем формулы суммы:

   $$\sin x\cos 45^\circ+\cos x\sin 45^\circ=\sin(x+45^\circ),$$
   $$\cos 17^\circ\cos 13^\circ-\sin 17^\circ\sin 13^\circ=\cos(17^\circ+13^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$\sin(x+45^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Наименьший положительный корень:

   $$x+45^\circ=60^\circ,$$
   $$x=15^\circ.$$

2. б) Преобразуем левую и правую части:

   $$\cos x\cos 45^\circ+\sin x\sin 45^\circ=\cos(x-45^\circ),$$
   $$\sin 200^\circ\cos 80^\circ-\cos 200^\circ\sin 80^\circ=\sin(200^\circ-80^\circ)=\sin 120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Получаем уравнение

   $$\cos(x-45^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Наименьший положительный корень:

   $$x-45^\circ=30^\circ,$$
   $$x=75^\circ.$$

Ответ

а) $$15^\circ$$; б) $$75^\circ$$.