Упр.24.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin 2x cos x + cos 2x sin x = 1; б) cos 3x cos 5х = sin 3x sin 5x; в) sin 6x cos x + cos 6x sin x = 1/2; г) cos 5х cos 7x — sin 5х sin 7x = —корень3/2.
Используем формулы суммы:
$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$
$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta).$$а)
$$\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1$$
$$\sin(2x+x)=1$$
$$\sin 3x=1.$$Тогда
$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$б)
$$\cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x$$
$$\cos 3x \cos 5x — \sin 3x \sin 5x = 0$$
$$\cos(3x+5x)=0$$
$$\cos 8x=0.$$Тогда
$$8x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\quad k\in\mathbb Z.$$в)
$$\sin 6x \cos x + \cos 6x \sin x = \frac12$$
$$\sin(6x+x)=\frac12$$
$$\sin 7x=\frac12.$$Тогда
$$7x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad 7x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{42}+\frac{2\pi k}{7}\quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{42}+\frac{2\pi k}{7},\quad k\in\mathbb Z.$$г)
$$\cos 5x \cos 7x — \sin 5x \sin 7x = -\frac{\sqrt3}{2}$$
$$\cos(5x+7x)=-\frac{\sqrt3}{2}$$
$$\cos 12x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$Тогда
$$12x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad 12x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=\frac{5\pi}{72}+\frac{\pi k}{6}\quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{72}+\frac{\pi k}{6},\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z$$
б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\ k\in\mathbb Z$$
в) $$x=\frac{\pi}{42}+\frac{2\pi k}{7}\ \text{или}\ x=\frac{5\pi}{42}+\frac{2\pi k}{7},\ k\in\mathbb Z$$
г) $$x=\frac{5\pi}{72}+\frac{\pi k}{6}\ \text{или}\ x=\frac{7\pi}{72}+\frac{\pi k}{6},\ k\in\mathbb Z$$
