Упр.24.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) sin 15°; в) sin 15° cos 15°; б) cos 15°; г) cos2 15° — sin2 15°

Используем формулы сложения и вычитания:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

1. $$\sin 15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ$$
   $$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

2. $$\cos 15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ$$
   $$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

3. $$\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =\frac{6-2}{16}=\frac14.$$

4. $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=(\cos15^\circ-\sin15^\circ)(\cos15^\circ+\sin15^\circ).$$
   Подставим найденные значения:
   $$\cos15^\circ-\sin15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2-\sqrt6+\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$
   $$\cos15^\circ+\sin15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2+\sqrt6-\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6}{2}.$$
   Тогда
   $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt6}{2}=\frac{\sqrt{12}}{4}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ

$$\sin15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\quad \cos15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\quad \sin15^\circ\cos15^\circ=\frac14,\quad \cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$