Упр.24.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите равенство: a) sin 75° cos 75° = 1/4; б) COS2 75° — sin2 75° = -корень3/2 в) sin 105° cos 105° = -1/4; г) cos2 75° + sin2 75° = 1.

Используем формулы сложения:

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, $$
$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. $$

1. $$\sin 75^\circ\cdot \cos 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)\cdot \cos(45^\circ+30^\circ).$$

   $$\sin 75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},$$

   $$\cos 75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

   Тогда
   $$\sin 75^\circ\cdot \cos 75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=\frac{6-2}{16}=\frac14.$$

2. $$\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ=\cos 2\cdot 75^\circ=\cos150^\circ.$$

   $$\cos150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. $$\sin105^\circ\cdot \cos105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)\cdot \cos(60^\circ+45^\circ).$$

   $$\sin105^\circ=\sin60^\circ\cos45^\circ+\cos60^\circ\sin45^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},$$

   $$\cos105^\circ=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.$$

   Тогда
   $$\sin105^\circ\cdot \cos105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\cdot\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}=\frac{2-6}{16}=-\frac14.$$

4. $$\cos^2 75^\circ+\sin^2 75^\circ=1,$$

   так как для любого угла выполняется тождество
   $$\cos^2 x+\sin^2 x=1.$$

Ответ

$$ \text{а) } \frac14;\quad \text{б) } -\frac{\sqrt3}{2};\quad \text{в) } -\frac14;\quad \text{г) } 1. $$