Упр.24.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) cos 5Пи/8 cos 3Пи/8 + sin 5Пи/8 sin 3Пи/8 б) sin 2Пи/15 cos Пи/5 + cos 2Пи/15 sin Пи/5 в) cos Пи/12 cos Пи/4 — sin Пи/12 sin Пи/4 г) sin Пи/12 cos Пи/4 — cos Пи/12 sin Пи/4

Подробный ответ

Используем формулы сложения:

$$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta),$$
$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$
$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta),$$
$$\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha-\beta).$$

$$\cos \frac{5\pi}{8}\cos \frac{3\pi}{8}+\sin \frac{5\pi}{8}\sin \frac{3\pi}{8} =\cos\left(\frac{5\pi}{8}-\frac{3\pi}{8}\right) =\cos \frac{2\pi}{8} =\cos \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
$$\sin \frac{2\pi}{15}\cos \frac{\pi}{5}+\cos \frac{2\pi}{15}\sin \frac{\pi}{5} =\sin\left(\frac{2\pi}{15}+\frac{\pi}{5}\right) =\sin\left(\frac{2\pi}{15}+\frac{3\pi}{15}\right) =\sin \frac{5\pi}{15} =\sin \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
$$\cos \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{4}-\sin \frac{\pi}{12}\sin \frac{\pi}{4} =\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right) =\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}\right) =\cos \frac{4\pi}{12} =\cos \frac{\pi}{3} =\frac{1}{2}.$$
$$\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{12}\sin \frac{\pi}{4} =\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right) =\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}\right) =\sin\left(-\frac{2\pi}{12}\right) =\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) =-\frac{1}{2}.$$