Упр.24.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения): a) sin (Пи/2+x) = cos x б) cos (3Пи/2 — x) = -sin x в) tg (Пи/2 — x) = сtg x г) ctg(3Пи/2 + x) = -tg x

Подробный ответ

Используем формулу сложения для синуса:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos x+\cos\frac{\pi}{2}\sin x.$$
Так как $$\sin\frac{\pi}{2}=1$$, $$\cos\frac{\pi}{2}=0$$, то
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1\cdot\cos x+0\cdot\sin x=\cos x.$$
Используем формулу сложения для косинуса:
$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=\cos\frac{3\pi}{2}\cos x+\sin\frac{3\pi}{2}\sin x.$$
Так как $$\cos\frac{3\pi}{2}=0$$, $$\sin\frac{3\pi}{2}=-1$$, то
$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=0\cdot\cos x+(-1)\cdot\sin x=-\sin x.$$
По определению тангенса:
$$\tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}.$$
Найдём числитель и знаменатель по формулам сложения:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos x-\cos\frac{\pi}{2}\sin x=\cos x,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos x+\sin\frac{\pi}{2}\sin x=\sin x.$$
Тогда
$$\tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{\cos x}{\sin x}=\ctg x.$$
По определению котангенса:
$$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)}.$$
Вычислим числитель и знаменатель:
$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\cos\frac{3\pi}{2}\cos x-\sin\frac{3\pi}{2}\sin x=\sin x,$$
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin\frac{3\pi}{2}\cos x+\cos\frac{3\pi}{2}\sin x=-\cos x.$$
Следовательно,
$$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tg x.$$