Упр.24.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения): a) sin (Пи — x) = sin x; б) cos (Пи + x) = -cos x; в) tg (2Пи — x) = -tg x; г) ctg (Пи — x) = -ctg x.

Подробный ответ

Используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha \pm \beta)=\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha \pm \beta)=\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta,$$
$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}.$$

$$\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0\cdot\cos x-(-1)\sin x=\sin x.$$
$$\cos(\pi+x)=\cos\pi\cos x-\sin\pi\sin x=(-1)\cos x-0\cdot\sin x=-\cos x.$$
$$\tg(2\pi-x)=\frac{\sin(2\pi-x)}{\cos(2\pi-x)}=\frac{\sin2\pi\cos x-\cos2\pi\sin x}{\cos2\pi\cos x+\sin2\pi\sin x}$$
$$=\frac{0\cdot\cos x-1\cdot\sin x}{1\cdot\cos x+0\cdot\sin x}=-\frac{\sin x}{\cos x}=-\tg x.$$
$$\ctg(\pi-x)=\frac{\cos(\pi-x)}{\sin(\pi-x)}=\frac{\cos\pi\cos x+\sin\pi\sin x}{\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x}$$
$$=\frac{(-1)\cos x+0\cdot\sin x}{0\cdot\cos x-(-1)\sin x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\ctg x.$$