Упр.24.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) cos (а — в) + sin (-a) sin В = cos а cos В; б) sin (30°- a) — cos (60° — a) = -корень3 sin а; в) sin (а — в) — cos а sin (-в) = sin а cos В; г) sin (30° — a) + sin (30° + a) = cos а.

1. $$\cos(a-b)+\sin(-a)\sin b=\cos a\cos b.$$

   Используем формулу разности косинусов и свойство $$\sin(-a)=-\sin a$$:

   $$ \cos(a-b)+\sin(-a)\sin b =(\cos a\cos b+\sin a\sin b)-\sin a\sin b =\cos a\cos b. $$

   Тождество доказано.

2. $$\sin(30^\circ-a)-\cos(60^\circ-a)=-\sqrt{3}\sin a.$$

   Раскроем скобки по формулам синуса и косинуса разности:

   $$ \sin(30^\circ-a)=\sin30^\circ\cos a-\cos30^\circ\sin a, $$
   $$ \cos(60^\circ-a)=\cos60^\circ\cos a+\sin60^\circ\sin a. $$

   Тогда
   $$ \sin(30^\circ-a)-\cos(60^\circ-a) =\left(\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a\right)-\left(\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a\right). $$

   $$ \frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a-\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a =-\sqrt3\sin a. $$

   Тождество доказано.

3. $$\sin(a-b)-\cos a\sin(-b)=\sin a\cos b.$$

   Так как $$\sin(-b)=-\sin b$$, получаем:

   $$ \sin(a-b)-\cos a\sin(-b) =(\sin a\cos b-\cos a\sin b)+\cos a\sin b =\sin a\cos b. $$

   Тождество доказано.

4. $$\sin(30^\circ-a)+\sin(30^\circ+a)=\cos a.$$

   Раскроем скобки:

   $$ \sin(30^\circ-a)=\sin30^\circ\cos a-\cos30^\circ\sin a, $$
   $$ \sin(30^\circ+a)=\sin30^\circ\cos a+\cos30^\circ\sin a. $$

   Тогда
   $$ \sin(30^\circ-a)+\sin(30^\circ+a) =\left(\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a\right)+\left(\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a\right). $$

   $$ \frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a =\cos a. $$

   Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos(a-b)+\sin(-a)\sin b=\cos a\cos b$$; б) $$\sin(30^\circ-a)-\cos(60^\circ-a)=-\sqrt3\sin a$$; в) $$\sin(a-b)-\cos a\sin(-b)=\sin a\cos b$$; г) $$\sin(30^\circ-a)+\sin(30^\circ+a)=\cos a$$.