Упр.24.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) sin 5х cos 3x + cos 5х sin 3x = sin 8x; б) cos 5х cos 3x — sin 5х sin 3x = cos 8x; в) sin 7x cos 4x — cos 7x sin 4x = sin 3x; r) cos 2x cos 12x + sin 2x sin 12x = cos 10x.

Используем формулы сложения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(-\alpha)=\cos\alpha.$$

1. $$\sin 5x\cos 3x+\cos 5x\sin 3x=\sin(5x+3x)=\sin 8x.$$
   Тождество доказано.

2. $$\cos 5x\cos 3x-\sin 5x\sin 3x=\cos(5x+3x)=\cos 8x.$$
   Тождество доказано.

3. $$\sin 7x\cos 4x-\cos 7x\sin 4x=\sin(7x-4x)=\sin 3x.$$
   Тождество доказано.

4. $$\cos 2x\cos 12x+\sin 2x\sin 12x=\cos(2x-12x)=\cos(-10x)=\cos 10x.$$
   Тождество доказано.

Ответ

Все тождества верны.