Упр.24.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите: a) sin 105°; б) cos 105°.

Представим угол $$105^\circ$$ как сумму $$60^\circ + 45^\circ$$ и воспользуемся формулами сложения:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

а)

$$ \sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin60^\circ\cos45^\circ+\cos60^\circ\sin45^\circ $$
$$ =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. $$

б)

$$ \cos 105^\circ=\cos(60^\circ+45^\circ)=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ $$
$$ =\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt6}{4} =\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}. $$

Ответ

$$\sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad \cos105^\circ=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.$$