Упр.23.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) (sin2 (x-Пи/4) — 1/2)(cos2x+1) = 0 б) (cos2 (2x+Пи/6) — 3/4)(sin x/2) = 0

а) Рассмотрим произведение:

$$\left(\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac12\right)(\cos 2x+1)=0.$$

Тогда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $$\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac12=0,$$

$$\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 2x+1=0,$$

$$\cos 2x=-1,$$

$$2x=\pi+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, в пункте а) получаем:

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим произведение:

$$\left(\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac34\right)\sin\frac{x}{2}=0.$$

Тогда:

1) $$\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac34=0,$$

$$\cos^2\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac34,$$

$$\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac14,$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\pm \frac12.$$

Отсюда

$$2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad 2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin\frac{x}{2}=0,$$

$$\frac{x}{2}=\pi n,$$

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но значения $$x=2\pi n$$ уже входят в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$ при чётных $$n$$, поэтому окончательно:

$$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$