Упр.23.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) tg3 x + tg2 x — 3 tg x = 3; б) ctg4 2x — 4 ctg2 2x + 3 = 0.

1. $$\tg^3 x+\tg^2 x-3\tg x=3$$

   Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

   $$\tg^3 x+\tg^2 x-3\tg x-3=0$$

   $$\tg^2 x(\tg x+1)-3(\tg x+1)=0$$

   $$(\tg x+1)(\tg^2 x-3)=0$$

   Отсюда:

   $$\tg x+1=0 \quad \text{или} \quad \tg^2 x-3=0$$

   1) $$\tg x=-1$$, тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\tg^2 x=3$$, значит

   $$\tg x=\pm\sqrt3$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   На промежутке $$x\in(-1{,}5;1{,}5)$$ получаем:

   $$x=-\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{3\pi}{4}$$

2. $$\sqrt3\,\tg^2 3x-3\tg 3x=0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\tg 3x\bigl(\sqrt3\,\tg 3x-3\bigr)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\tg 3x=0$$, тогда

   $$3x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\sqrt3\,\tg 3x-3=0$$, значит

   $$\tg 3x=\sqrt3$$

   $$3x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

   На промежутке $$x\in\left(-1{,}5;1{,}5\right)$$ получаем 6 корней:

   $$x=-\frac{\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3}$$

3. $$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0$$

   $$\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac34$$

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   1) $$x=\pi n$$

   2) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$

   На промежутке $$x\in[-5{,}5;\pi]$$ получаем 6 корней:

   $$x=-5\pi,\ -3\pi,\ -\pi,\ 0,\ \pi,\ \frac{\pi}{3}$$

4. $$2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt3\cos\frac{x}{2}=0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\cos\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}+\sqrt3\right)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\cos\frac{x}{2}=0$$, тогда

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$2\cos\frac{x}{2}+\sqrt3=0$$, значит

   $$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$\frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   На промежутке $$x\in(-16;10)$$ получаем 9 корней:

   $$x=-5\pi,\ -3\pi,\ -\pi,\ \frac{5\pi}{3},\ \pi,\ \frac{7\pi}{3},\ 3\pi,\ \frac{11\pi}{3},\ \frac{13\pi}{3}$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{3\pi}{4}$$;

б) $$x=-\frac{\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3}$$;

в) $$x=-5\pi,\ -3\pi,\ -\pi,\ 0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi$$;

г) $$x=-5\pi,\ -3\pi,\ -\pi,\ \frac{5\pi}{3},\ \pi,\ \frac{7\pi}{3},\ 3\pi,\ \frac{11\pi}{3},\ \frac{13\pi}{3}$$.