Упр.23.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin2 x — (12 — корень2)/2 sinx — 3корень2 = 0; б) COS2 x — (8-корень3)/2 cosx — 2корень3 = 0.

а) Обозначим $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$y^2-\frac{12-\sqrt2}{2}y-3\sqrt2=0.$$

Найдём корни. Дискриминант:

$$D=\left(\frac{12-\sqrt2}{2}\right)^2+12\sqrt2.$$

Удобнее разложить левую часть на множители:

$$y^2-\frac{12-\sqrt2}{2}y-3\sqrt2=(y-2\sqrt2)\left(y+\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Тогда

$$y=2\sqrt2 \quad \text{или} \quad y=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Но $$\sin x\in[-1;1],$$ поэтому значение $$y=2\sqrt2$$ не подходит.

Остаётся:

$$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Обозначим $$y=\cos x.$$ Тогда:

$$y^2-\frac{8-\sqrt3}{2}y-2\sqrt3=0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-\frac{8-\sqrt3}{2}y-2\sqrt3=(y-2\sqrt3)\left(y+\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

Следовательно,

$$y=2\sqrt3 \quad \text{или} \quad y=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ значение $$y=2\sqrt3$$ не подходит.

Остаётся:

$$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$