Упр.23.6(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Пусть $$t=\cos \frac{x}{2}.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$2t^2+\sqrt{3}\,t=0$$

$$t(2t+\sqrt{3})=0$$

Отсюда:

$$t=0 \quad \text{или} \quad t=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

1) Если $$\cos \frac{x}{2}=0,$$ то

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) Если $$\cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

$$\frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

$$x=\pm \frac{5\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) Решим уравнение

$$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0.$$

$$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=3$$

$$\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{4}$$

$$\left|\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значит,

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

1) Если $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

$$x-\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) Если $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$ то

$$x-\frac{\pi}{6}=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pi+2\pi n,\; x=\pm \frac{5\pi}{3}+4\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; x=\pi+2\pi n,\; x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$