Упр.23.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 2cos2 x/2 + корень3 cos x/2 = 0; б) 4cos2 (x-Пи/6) — 3 = 0; в) корень3 tg2 3x — 3tgЗx = 0; г)4 sin2 (2x+Пи/3) — 1 = 0

1. $$\sin^2 x-\frac{12-\sqrt2}{2}\sin x-3\sqrt2=0.$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

   $$y^2-\frac{12-\sqrt2}{2}y-3\sqrt2=0.$$

   Найдём корни квадратного уравнения:

   $$D=\left(\frac{12-\sqrt2}{2}\right)^2+12\sqrt2=\frac{144-24\sqrt2+2}{4}+12\sqrt2=\frac{144+24\sqrt2+2}{4}=\left(\frac{12+\sqrt2}{2}\right)^2.$$

   Тогда

   $$y_1=\frac{\frac{12-\sqrt2}{2}-\frac{12+\sqrt2}{2}}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad y_2=\frac{\frac{12-\sqrt2}{2}+\frac{12+\sqrt2}{2}}{2}=6.$$

   Получаем:

   $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \sin x=6.$$

   Так как $$\sin x=6$$ невозможно, остаётся

   $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos^2 x-\frac{8-\sqrt3}{2}\cos x-2\sqrt3=0.$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

   $$y^2-\frac{8-\sqrt3}{2}y-2\sqrt3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=\left(\frac{8-\sqrt3}{2}\right)^2+8\sqrt3=\frac{64-16\sqrt3+3}{4}+8\sqrt3=\frac{64+16\sqrt3+3}{4}=\left(\frac{8+\sqrt3}{2}\right)^2.$$

   Тогда

   $$y_1=\frac{\frac{8-\sqrt3}{2}-\frac{8+\sqrt3}{2}}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad y_2=\frac{\frac{8-\sqrt3}{2}+\frac{8+\sqrt3}{2}}{2}=4.$$

   Получаем:

   $$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2} \quad \text{или} \quad \cos x=4.$$

   Так как $$\cos x=4$$ невозможно, остаётся

   $$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sqrt3\,\tg^2 3x-3\tg 3x=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\tg 3x\left(\sqrt3\,\tg 3x-3\right)=0.$$

   Тогда

   $$\tg 3x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=\sqrt3.$$

   1) Если $$\tg 3x=0$$, то

   $$3x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) Если $$\tg 3x=\sqrt3$$, то

   $$3x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0.$$

   Тогда

   $$\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac14,$$

   значит

   $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\pm \frac12.$$

   Отсюда

   $$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad -\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad -\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

   После упрощения получаем

   $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\frac{\pi n}{3} \ \text{или} \ x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ -\frac{7\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$