Упр.23.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) tg x — 2 ctg x + 1 = 0; б) (tg x + 5)/2=1/cos2 x в) 2ctg x — 3tg x + 5 = 0 г) (7 — ctg x)/4 = 1/sin2 x
$$\tg x-2\ctg x+1=0$$
Положим $$y=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\dfrac{1}{y}$$:
$$y-\dfrac{2}{y}+1=0$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+y-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2,\qquad y_2=\dfrac{-1+3}{2}=1$$
Тогда
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n$$
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$$
$$\dfrac{\tg x+5}{2}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$$
Так как $$\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x$$, получаем:
$$\dfrac{\tg x+5}{2}=1+\tg^2 x$$
Умножим на $$2$$:
$$\tg x+5=2+2\tg^2 x$$
Положим $$y=\tg x$$:
$$2y^2-y-3=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_1=\dfrac{1-5}{4}=-1,\qquad y_2=\dfrac{1+5}{4}=\dfrac{3}{2}$$
Тогда
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$$
$$\tg x=\dfrac{3}{2} \Rightarrow x=\arctg \dfrac{3}{2}+\pi n$$
$$2\ctg x-3\tg x+5=0$$
Положим $$y=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\dfrac{1}{y}$$:
$$\dfrac{2}{y}-3y+5=0$$
Умножим на $$y$$:
$$2-3y^2+5y=0$$
$$3y^2-5y-2=0$$
$$D=25+24=49$$
$$y_1=\dfrac{5-7}{6}=-\dfrac{1}{3},\qquad y_2=\dfrac{5+7}{6}=2$$
Тогда
$$\tg x=-\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=-\arctg \dfrac{1}{3}+\pi n$$
$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n$$
$$\dfrac{7-\ctg x}{4}=\dfrac{1}{\sin^2 x}$$
Так как $$\dfrac{1}{\sin^2 x}=1+\ctg^2 x$$, получаем:
$$\dfrac{7-\ctg x}{4}=1+\ctg^2 x$$
Умножим на $$4$$:
$$7-\ctg x=4+4\ctg^2 x$$
Положим $$y=\ctg x$$:
$$4y^2+y-3=0$$
$$D=1+48=49$$
$$y_1=\dfrac{-1-7}{8}=-1,\qquad y_2=\dfrac{-1+7}{8}=\dfrac{3}{4}$$
Тогда
$$\ctg x=-1 \Rightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi n$$
$$\ctg x=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x=\arctg \dfrac{4}{3}+\pi n$$
Ответ
а) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg \dfrac{3}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=-\arctg \dfrac{1}{3}+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi n,\ \arctg \dfrac{4}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
