Упр.23.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение cos2 3x — 2 cos 2x cos 3x + 1 = 0.

Преобразуем левую часть:

$$\cos^2 3x-2\cos 2x\cos 3x+1=0.$$

Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ удобнее заметить, что

$$\cos^2 3x-2\cos 2x\cos 3x+1=\left(\cos 3x-\cos 2x\right)^2+\sin^2 2x.$$

Но проще воспользоваться оценкой:

$$\cos^2 3x\le 1,\qquad -2\cos 2x\cos 3x\ge -2\cos 3x,$$

поэтому

$$\cos^2 3x-2\cos 2x\cos 3x+1\ge \cos^2 3x-2\cos 3x+1=(\cos 3x-1)^2\ge 0.$$

Чтобы сумма равнялась нулю, нужно, чтобы одновременно выполнялось

$$\cos 3x-1=0,$$

то есть

$$\cos 3x=1.$$

Тогда

$$3x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$