Упр.23.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) (2cos2 x + 5|cos x| — 3)/(2sin x + корень3) = 0 б) (2sin2 x + |sin x| — 1)/(4cos2 x — 3) = 0

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2\cos^2 x+5|\cos x|-3}{2\sin x+\sqrt3}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$2\cos^2 x+5|\cos x|-3=0,$$

$$2\sin x+\sqrt3\ne 0.$$

Положим $$y=|\cos x|,\quad y\ge 0.$$ Тогда

$$2y^2+5y-3=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.$$

$$y=\frac{-5\pm 7}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-3.$$

Так как $$y\ge 0,$$ подходит только $$|\cos x|=\frac12.$$ Значит,

$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим знаменатель:

$$2\sin x+\sqrt3\ne 0 \iff \sin x\ne -\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значение $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$ получается при $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ и $$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$ поэтому эти корни нужно исключить.

Остаются решения:

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2\sin^2 x+|\sin x|-1}{4\cos^2 x-3}=0.$$

Тогда

$$2\sin^2 x+|\sin x|-1=0,$$

$$4\cos^2 x-3\ne 0.$$

Положим $$y=|\sin x|,\quad y\ge 0.$$ Тогда

$$2y^2+y-1=0.$$

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9.$$

$$y=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-1.$$

Значит,

$$|\sin x|=\frac12,$$

то есть

$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$

Но из условия существования дроби:

$$4\cos^2 x-3\ne 0 \iff 4(1-\sin^2 x)-3\ne 0 \iff 1-4\sin^2 x\ne 0,$$

то есть

$$\sin x\ne \pm \frac12.$$

Следовательно, найденные значения не подходят, и решений нет.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) корней нет.