Упр.23.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) |sin х| (cos x + 2 sin x) = 2 — 2 cos2 x; б) |cos х| (2 cos x — 3 sin x) = 2.

а) Рассмотрим случаи по знаку $$\sin x$$.

1) Если $$\sin x=0$$, то

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin x>0$$, то $$|\sin x|=\sin x$$ и

$$ \sin x(\cos x+2\sin x)=2-2\cos^2 x. $$

Так как $$2-2\cos^2 x=2\sin^2 x$$, получаем

$$ \sin x\cos x+2\sin^2 x=2\sin^2 x, $$

откуда

$$\sin x\cos x=0.$$

При $$\sin x>0$$ имеем $$\sin x\neq 0$$, значит

$$\cos x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

С учётом условия $$\sin x>0$$ остаются

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

3) Если $$\sin x<0$$, то $$|\sin x|=-\sin x$$ и

$$ -\sin x(\cos x+2\sin x)=2-2\cos^2 x. $$

Тогда

$$ -\sin x\cos x-2\sin^2 x=2\sin^2 x, $$

$$ -\sin x\cos x=4\sin^2 x. $$

Так как $$\sin x\neq 0$$, делим на $$\sin^2 x$$:

$$ -\ctg x=4,\quad \ctg x=-4. $$

Следовательно,

$$x=-\arctg\frac14+\pi n.$$

С учётом условия $$\sin x<0$$ получаем

$$x=-\arctg\frac14+2\pi n.$$

б) Рассмотрим случаи по знаку $$\cos x$$.

1) Если $$\cos x>0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$ и

$$ \cos x(2\cos x-3\sin x)=2. $$

Преобразуем:

$$ 2\cos^2 x-3\sin x\cos x=2(\sin^2 x+\cos^2 x), $$

$$ 2\sin^2 x+3\sin x\cos x=0. $$

Если $$\sin x\neq 0$$, делим на $$\sin^2 x$$:

$$ 2+3\ctg x=0,\quad \ctg x=-\frac23. $$

Тогда

$$x=-\arctg\frac32+\pi n.$$

С учётом условия $$\cos x>0$$ остаются

$$x=-\arctg\frac32+2\pi n.$$

2) Если $$\sin x=0$$, то $$x=\pi n$$. Подстановка в исходное уравнение даёт

$$|\cos x|\cdot 2\cos x=2,$$

то есть

$$2\cos^2 x=2,$$

что верно при $$x=2\pi n$$.

3) Если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$ и

$$ -\cos x(2\cos x-3\sin x)=2. $$

После преобразований получаем

$$ 2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=0. $$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$ 2\tg^2 x-3\tg x+4=0. $$

Дискриминант:

$$ D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23<0. $$

Значит, при $$\cos x<0$$ решений нет.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=-\arctg\frac14+2\pi n,\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\arctg\frac32+2\pi n,\; x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$