Упр.23.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) sin2 x — 6 sin x cos x + 5 cos2 x > 0; б) sin2 x — 6 sin x cos x + 5 cos2 x < 0; в) sin2 x - 3 sin x cos x + 2 cos2 x < = 0; r) sin2 x - 2 sin x cos x - 3 cos2 x > = 0.

а) $$\sin^2 x-6\sin x\cos x+5\cos^2 x>0$$

Если $$\cos x=0,$$ то $$\sin^2 x>0,$$ значит, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Если $$\cos x\ne 0,$$ разделим неравенство на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-6\tg x+5>0.$$

Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-6y+5>0,$$

$$ (y-1)(y-5)>0,$$

откуда $$y<1$$ или $$y>5.$$

Следовательно,

$$\tg x<1 \quad \text{или} \quad \tg x>5.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n$$

или

$$\arctg 5+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

С учётом случая $$\cos x=0$$ получаем:

$$\arctg 5+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n.$$

б) $$\sin^2 x-6\sin x\cos x+5\cos^2 x<0$$

Если $$\cos x=0,$$ то $$\sin^2 x<0,$$ что невозможно, значит, решений в этом случае нет.

Если $$\cos x\ne 0,$$ то

$$\tg^2 x-6\tg x+5<0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-6y+5<0,$$

$$ (y-1)(y-5)<0,$$

откуда $$1<y<5.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\arctg 5+\pi n.$$

в) $$\sin^2 x-3\sin x\cos x+2\cos^2 x\le 0$$

Если $$\cos x=0,$$ то $$\sin^2 x\le 0,$$ значит, $$\sin x=0,$$ что невозможно при $$\cos x=0.$$ Поэтому этот случай не подходит.

Если $$\cos x\ne 0,$$ то

$$\tg^2 x-3\tg x+2\le 0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-3y+2\le 0,$$

$$ (y-1)(y-2)\le 0,$$

откуда

$$1\le y\le 2.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \arctg 2+\pi n.$$

г) $$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x\ge 0$$

Если $$\cos x=0,$$ то $$\sin^2 x\ge 0,$$ значит, $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Если $$\cos x\ne 0,$$ то

$$\tg^2 x-2\tg x-3\ge 0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-2y-3\ge 0,$$

$$ (y+1)(y-3)\ge 0,$$

откуда $$y\le -1$$ или $$y\ge 3.$$

Значит,

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\frac{\pi}{4}+\pi n$$

или

$$\arctg 3+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

С учётом случая $$\cos x=0$$ получаем:

$$\arctg 3+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ

а) $$\arctg 5+\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+\pi n$$;

б) $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\arctg 5+\pi n$$;

в) $$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \arctg 2+\pi n$$;

г) $$\arctg 3+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb{Z}.$$