Упр.23.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) sin x — cos x > 0; 6) sin x — корень3 cos x < = 0; в) sin x + cos x < 0; г) корень3 sin x + cos x > = 0.

а) $$\sin x-\cos x>0$$

Разделим на $$\cos x$$, учитывая случаи знака $$\cos x$$:

$$ \sin x-\cos x>0 \\ \tg x-1>0 $$

Тогда $$\tg x>1$$, откуда

$$ \frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n $$
и
$$ \frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n. $$

С учётом всех случаев получаем:

$$ \frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x\le 0$$

Делим на $$\cos x$$:

$$ \tg x-\sqrt{3}\le 0 $$
то есть
$$ \tg x\le \sqrt{3}. $$

Отсюда

$$ -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

в) $$\sin x+\cos x<0$$

Делим на $$\cos x$$:

$$ \tg x+1<0 $$
то есть
$$ \tg x<-1. $$

Следовательно,

$$ \frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

г) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x\ge 0$$

Делим на $$\cos x$$:

$$ \sqrt{3}\tg x+1\ge 0 $$
то есть
$$ \tg x\ge -\frac{1}{\sqrt{3}}. $$

Отсюда

$$ -\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.