Упр.23.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 4 sin2 x — 2(корень3 — 1) sin x — корень3 < 0; б) 4 cos2 x - 2(корень3 + 1) cos x + корень3 > 0.

а) Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное неравенство:

$$4y^2-2(\sqrt3-1)y-\sqrt3<0.$$

Найдём корни:

$$D=4(\sqrt3-1)^2+16\sqrt3=4(\sqrt3+1)^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{2(\sqrt3-1)\pm 2(\sqrt3+1)}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$-\frac12<y<\frac{\sqrt3}{2}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем систему:

$$\sin x>-\frac12,\qquad \sin x<\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

или

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда:

$$4y^2-2(\sqrt3+1)y+\sqrt3\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=4(\sqrt3+1)^2-16\sqrt3=4(\sqrt3-1)^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{2(\sqrt3+1)\pm 2(\sqrt3-1)}{8}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$\cos x\le \frac12 \quad \text{или} \quad \cos x\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

или

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ или $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n$$ или $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$