Упр.23.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 3 tg2 x + 2 tg x — 1 = 0; б) ctg2 2x — 6 ctg 2x + 5 = 0 в) 2 tg2 x + 3 tg x — 2 = 0; г) 7 ctg2 x/2 + 2 ctg x/2 = 5.
$$3\tg^2 x+2\tg x-1=0.$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$3y^2+2y-1=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}.$$
Отсюда
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac13.$$
Значит,
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=\frac13 \Rightarrow x=\arctg\frac13+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0.$$
Пусть $$y=\ctg 2x$$. Тогда
$$y^2-6y+5=0.$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$
Отсюда
$$y_1=1,\qquad y_2=5.$$
Тогда
$$\ctg 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},$$
$$\ctg 2x=5 \Rightarrow 2x=\arcctg 5+\pi n \Rightarrow x=\frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$2\tg^2 x+3\tg x-2=0.$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$2y^2+3y-2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$
Отсюда
$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac12.$$
Значит,
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,$$
$$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctg\frac12+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$7\ctg^2 \frac{x}{2}+2\ctg \frac{x}{2}=5.$$
Пусть $$y=\ctg \frac{x}{2}$$. Тогда
$$7y^2+2y-5=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-5)=4+140=144,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{14}.$$
Отсюда
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac57.$$
Тогда
$$\ctg \frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\ctg \frac{x}{2}=\frac57 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arcctg\frac57+\pi n \Rightarrow x=2\arcctg\frac57+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \arctg\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ 2\arcctg\frac57+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
