Упр.23.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 4 sin x cos x — 1 > 2 sin x — 2 cos x; б) 1 + 2 sin x > 4 sin x cos д: + 2 cos x.

а)

$$4\sin x\cos x-1>2\sin x-2\cos x$$
$$4\sin x\cos x-2\sin x+2\cos x-1>0$$
$$2\sin x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)>0$$
$$\left(2\sin x+1\right)\left(2\cos x-1\right)>0$$

Произведение положительно, если оба множителя положительны или оба отрицательны.

1) $$2\sin x+1>0,\quad 2\cos x-1>0$$
$$\sin x>-\frac12,\quad \cos x>\frac12$$
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

2) $$2\sin x+1<0,\quad 2\cos x-1<0$$
$$\sin x<-\frac12,\quad \cos x<\frac12$$
$$\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$

Пересечение условий даёт:
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n$$
и
$$\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$

б)

$$1+2\sin x>4\sin x\cos x+2\cos x$$
$$4\sin x\cos x-2\sin x+2\cos x-1<0$$
$$2\sin x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)<0$$
$$\left(2\sin x+1\right)\left(2\cos x-1\right)<0$$

Произведение отрицательно, если множители разных знаков.

1) $$2\sin x+1>0,\quad 2\cos x-1<0$$
$$\sin x>-\frac12,\quad \cos x<\frac12$$
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$

2) $$2\sin x+1<0,\quad 2\cos x-1>0$$
$$\sin x<-\frac12,\quad \cos x>\frac12$$
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad \frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad -\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$