Упр.23.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) корень (3sin 5x — cos2 x — 3) = 1 — sin x; б) корень (2cos 4x — sin2 x — 2) = 1 + COS x.

а) Пусть

$$\sqrt{3\sin 5x-\cos^2 x-3}=1-\sin x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то

$$1-\sin x\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3\sin 5x-\cos^2 x-3=(1-\sin x)^2.$$

Раскроем скобки и используем тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$3\sin 5x-\cos^2 x-3=1-2\sin x+\sin^2 x,$$

$$3\sin 5x+\sin^2 x-4=1-2\sin x+\sin^2 x,$$

$$3\sin 5x+2\sin x=5.$$

Так как $$\sin 5x\le 1$$ и $$\sin x\le 1,$$ то равенство возможно только при

$$\sin 5x=1,\qquad \sin x=1.$$

Из $$\sin x=1$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что эти значения удовлетворяют исходному уравнению.

б) Пусть

$$\sqrt{2\cos 4x-\sin^2 x-2}=1+\cos x.$$

Тогда

$$1+\cos x\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2\cos 4x-\sin^2 x-2=(1+\cos x)^2.$$

Используем $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$2\cos 4x-\sin^2 x-2=1+2\cos x+\cos^2 x,$$

$$2\cos 4x+\cos^2 x-3=1+2\cos x+\cos^2 x,$$

$$2\cos 4x-2\cos x=4,$$

$$\cos 4x-\cos x=2.$$

Так как $$\cos 4x\le 1$$ и $$\cos x\ge -1,$$ равенство возможно только при

$$\cos 4x=1,\qquad \cos x=-1.$$

Из $$\cos x=-1$$ получаем

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что эти значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$