Упр.23.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) корень3 sin x — корень(2sin2 x — 2sin x cos x + 3cos2 x) = 0; 6) cos x + корень(sin2 X — 4sin x cos x + 4cos2 x) = 0.

а) $$\sqrt{3}\sin x-\sqrt{2\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos^2 x}=0$$

Перенесём корень вправо и возведём обе части в квадрат:

$$\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos^2 x}$$

$$3\sin^2 x=2\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos^2 x$$

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\left(\tg^2 x+2\tg x-3\right)=0$$

При $$\cos x=0$$ исходное уравнение не выполняется, поэтому решаем:

$$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2+2y-3=0$$

$$D=2^2+4\cdot 3=16$$

$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1$$

Отсюда

$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n$$

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

Проверка показывает, что оба семейства решений подходят.

б) $$\cos x+\sqrt{\sin^2 x-4\sin x\cos x+4\cos^2 x}=0$$

Перенесём косинус вправо:

$$\sqrt{\sin^2 x-4\sin x\cos x+4\cos^2 x}=-\cos x$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$\cos x\le 0$$.

Возведём обе части в квадрат:

$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+4\cos^2 x=\cos^2 x$$

$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\left(\tg^2 x-4\tg x+3\right)=0$$

При $$\cos x=0$$ исходное уравнение не выполняется, поэтому решаем:

$$\tg^2 x-4\tg x+3=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2-4y+3=0$$

$$D=4^2-4\cdot 3=4$$

$$y_1=1,\qquad y_2=3$$

Отсюда

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n$$

С учётом условия $$\cos x\le 0$$ остаются только решения из третьей и второй четвертей соответственно:

$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad x=\arctg 3+\pi(2n+1)$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\; x=\arctg 3+\pi(2n+1),\; n\in\mathbb{Z}$$