Упр.23.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) корень(5 — 2 sin x) = 6 sin x — 1; 6) корень(2 + 4 cos x) = 3 cos x + 0,5.

а) $$\sqrt{5-2\sin x}=6\sin x-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$5-2\sin x=(6\sin x-1)^2,$$

$$5-2\sin x=36\sin^2 x-12\sin x+1,$$

$$36\sin^2 x-10\sin x-4=0,$$

$$18\sin^2 x-5\sin x-2=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$18y^2-5y-2=0.$$

$$D=25+144=169,$$

$$y_1=\frac{5-13}{36}=-\frac{2}{9}, \qquad y_2=\frac{5+13}{36}=\frac{1}{2}.$$

Проверим условия существования корня и правой части:

$$5-2\sin x\ge 0,$$

$$6\sin x-1\ge 0 \;\Rightarrow\; \sin x\ge \frac16.$$

Значение $$\sin x=-\frac29$$ не подходит, так как $$-\frac29<\frac16.$$

Остаётся $$\sin x=\frac12.$$ Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{2+4\cos x}=3\cos x+0{,}5.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2+4\cos x=(3\cos x+0{,}5)^2,$$

$$2+4\cos x=9\cos^2 x+3\cos x+\frac14,$$

$$9\cos^2 x-\cos x-\frac74=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$9y^2-y-\frac74=0,$$

$$36y^2-4y-7=0.$$

$$D=16+1008=1024,$$

$$y_1=\frac{4-32}{72}=-\frac{7}{18}, \qquad y_2=\frac{4+32}{72}=\frac12.$$

Проверим условие существования:

$$2+4\cos x\ge 0 \;\Rightarrow\; \cos x\ge -\frac12,$$

$$3\cos x+0{,}5\ge 0 \;\Rightarrow\; \cos x\ge -\frac16.$$

Значение $$\cos x=-\frac{7}{18}$$ не подходит, так как $$-\frac{7}{18}<-\frac16.$$

Остаётся $$\cos x=\frac12.$$ Тогда

$$x=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$