Упр.23.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 2sin(2/3x-Пи/6)-3cos (2x+Пи/3) = 5 б) sin x/4 + 2cos (x-2Пи)/3 = 3

а) Рассмотрим уравнение

$$2\sin\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)-3\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=5.$$

Так как $$\sin t\le 1$$, то

$$2\sin\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\le 2.$$

Так как $$\cos t\ge -1$$, то

$$-3\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\le 3.$$

Следовательно, левая часть не превосходит $$5$$. Равенство возможно только при одновременном выполнении условий

$$\sin\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=1,\qquad \cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-1.$$

Из первого условия:

$$\frac{2x}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{2x}{3}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pi+3\pi n.$$

Из второго условия:

$$2x+\frac{\pi}{3}=\pi+2\pi m,$$

$$2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi m,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi m.$$

Проверим совместимость. Если $$x=\pi+3\pi n$$, то

$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(2\pi+6\pi n+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\ne -1.$$

Значит, решений нет.

б) Рассмотрим уравнение

$$\sin\frac{x}{4}+2\cos\frac{x-2\pi}{3}=3.$$

Так как $$\sin t\le 1$$ и $$\cos t\le 1$$, то

$$\sin\frac{x}{4}+2\cos\frac{x-2\pi}{3}\le 3.$$

Равенство возможно только при

$$\sin\frac{x}{4}=1,\qquad \cos\frac{x-2\pi}{3}=1.$$

Из первого условия:

$$\frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=2\pi+8\pi n.$$

Из второго условия:

$$\frac{x-2\pi}{3}=2\pi k,$$

$$x=2\pi+6\pi k.$$

Приравниваем:

$$2\pi+8\pi n=2\pi+6\pi k,$$

$$4n=3k.$$

Пусть $$n=3t$$, тогда $$k=4t$$ и

$$x=2\pi+24\pi t.$$

Ответ

а) решений нет; б) $$x=2\pi+24\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$