Упр.23.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 3 sin2 x/3 + 5 sin2 x = 8; б) cos2 2x — 2 cos3 Зх = 3.

а) $$3\sin^2\frac{x}{3}+5\sin^2 x=8.$$

Так как $$\sin^2\frac{x}{3}\le 1,\qquad \sin^2 x\le 1,$$ то

$$3\sin^2\frac{x}{3}+5\sin^2 x\le 3+5=8.$$

Равенство возможно только тогда, когда одновременно

$$\sin^2\frac{x}{3}=1,\qquad \sin^2 x=1.$$

Из первого уравнения:

$$\sin\frac{x}{3}=\pm1,$$

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n.$$

Проверим второе условие:

$$\sin x=\pm1.$$

При $$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n$$ это выполняется. Значит,

$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2 2x-2\cos^3 3x=3.$$

Так как $$\cos^2 2x\le 1,\qquad \cos^3 3x\ge -1,$$ то

$$\cos^2 2x-2\cos^3 3x\le 1-2(-1)=3.$$

Равенство достигается только при

$$\cos^2 2x=1,\qquad \cos^3 3x=-1.$$

Тогда

$$\cos 2x=\pm1 \;\Rightarrow\; 2x=\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi n}{2},$$

и

$$\cos 3x=-1 \;\Rightarrow\; 3x=\pi+2\pi k \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi+2\pi k}{3}.$$

Нужно найти общие значения. Подходит

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$