Упр.23.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) cos5 x + sin4 x = 1; б) cos8 x + sin3 x = 1.

а) $$\cos^5 x+\sin^4 x=1$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ то

$$0\le \sin^4 x\le 1,$$
$$\cos^5 x=1-\sin^4 x\ge 0,$$
$$\cos^5 x\le \cos^2 x,$$
$$\sin^4 x\le \sin^2 x.$$

Сложим последние два неравенства:

$$\cos^5 x+\sin^4 x\le \cos^2 x+\sin^2 x=1.$$

Но по условию $$\cos^5 x+\sin^4 x=1,$$ значит, в равенстве должны выполняться оба равенства:

$$\cos^5 x=\cos^2 x,$$
$$\sin^4 x=\sin^2 x.$$

Решим их:

$$\cos^5 x=\cos^2 x \;\Rightarrow\; \cos^2 x(\cos^3 x-1)=0,$$
откуда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

$$\sin^4 x=\sin^2 x \;\Rightarrow\; \sin^2 x(\sin^2 x-1)=0,$$
откуда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\pm 1.$$

Общие решения этих условий:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^8 x+\sin^3 x=1$$

Аналогично:

$$0\le \cos^8 x\le 1,$$
$$\sin^3 x=1-\cos^8 x\ge 0,$$
$$\cos^8 x\le \cos^2 x,$$
$$\sin^3 x\le \sin^2 x.$$

Сложим последние два неравенства:

$$\cos^8 x+\sin^3 x\le \cos^2 x+\sin^2 x=1.$$

Так как по условию сумма равна $$1,$$ то должны выполняться равенства:

$$\cos^8 x=\cos^2 x,$$
$$\sin^3 x=\sin^2 x.$$

Решаем:

$$\cos^8 x=\cos^2 x \;\Rightarrow\; \cos^2 x(\cos^6 x-1)=0,$$
откуда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\pm 1.$$

$$\sin^3 x=\sin^2 x \;\Rightarrow\; \sin^2 x(\sin x-1)=0,$$
откуда
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Общие решения:

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; 2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$