Упр.23.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) x2 — 2x cos Пиx + 1 = 0; б) x2 — 2x sin Пиx/2 + 1 = 0.

а) $$x^2-2x\cos \pi x+1=0.$$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $$x$$:

$$D=(2\cos \pi x)^2-4=4\cos^2 \pi x-4=4(\cos^2 \pi x-1).$$

Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно

$$\cos^2 \pi x-1\ge 0.$$

Так как $$\cos^2 \pi x\le 1,$$ то возможно только

$$\cos^2 \pi x=1,\quad \cos \pi x=\pm 1.$$

Тогда

$$x=\cos \pi x=\pm 1,$$

и проверим эти значения:

$$x=-1:\ \cos(-\pi)=-1,$$

$$x=1:\ \cos \pi=-1\ne 1.$$

Подходит только $$x=-1.$$

б) $$x^2-2x\sin \frac{\pi x}{2}+1=0.$$

Снова рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$x$$:

$$D=\left(2\sin \frac{\pi x}{2}\right)^2-4=4\sin^2 \frac{\pi x}{2}-4=4\left(\sin^2 \frac{\pi x}{2}-1\right).$$

Для существования действительных корней нужно

$$\sin^2 \frac{\pi x}{2}-1\ge 0.$$

Но $$\sin^2 \frac{\pi x}{2}\le 1,$$ значит

$$\sin^2 \frac{\pi x}{2}=1,\quad \sin \frac{\pi x}{2}=\pm 1.$$

Тогда

$$x=\sin \frac{\pi x}{2}=\pm 1,$$

и проверка показывает:

$$x=-1:\ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

$$x=1:\ \sin\frac{\pi}{2}=1.$$

Оба значения подходят.

Ответ

а) $$x=-1$$; б) $$x=\pm 1$$.