Упр.23.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Для каждого значения а решите уравнение: a) (asin x — 1)/(sin x + cos x) = 0 б) (acos x — 1)/(sin x — cos x) = 0
а) Рассмотрим уравнение
$$\frac{a\sin x-1}{\sin x+\cos x}=0.$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$a\sin x-1=0,\qquad \sin x+\cos x\ne 0.$$
Из числителя получаем
$$\sin x=\frac1a.$$
Решения существуют только при
$$-1\le \frac1a\le 1,\qquad a\ne 0,$$
то есть при
$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$
Теперь учтём знаменатель:
$$\sin x+\cos x\ne 0 \iff \tan x\ne -1 \iff x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$a=-\sqrt2,$$ то
$$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2},$$
и с учётом условия на знаменатель получаем
$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$a=\sqrt2,$$ то
$$\sin x=\frac{\sqrt2}{2},$$
и тогда
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Во всех остальных допустимых случаях
$$x=(-1)^n\arcsin\frac1a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$\frac{a\cos x-1}{\sin x-\cos x}=0.$$
Тогда
$$a\cos x-1=0,\qquad \sin x-\cos x\ne 0.$$
Из числителя:
$$\cos x=\frac1a.$$
Решения существуют при
$$-1\le \frac1a\le 1,\qquad a\ne 0,$$
то есть при
$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$
Условие на знаменатель:
$$\sin x-\cos x\ne 0 \iff \tan x\ne 1 \iff x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$a=-\sqrt2,$$ то
$$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2},$$
и с учётом условия на знаменатель
$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$a=\sqrt2,$$ то
$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2},$$
и тогда
$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Во всех остальных допустимых случаях
$$x=\pm \arccos\frac1a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) Нет решений, если $$-1<a<1$$; $$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$, если $$a=-\sqrt2$$; $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$, если $$a=\sqrt2$$; $$x=(-1)^n\arcsin\frac1a+\pi n$$, если $$a<-\sqrt2,\ -\sqrt2<a\le -1,\ 1\le a<\sqrt2,\ a>\sqrt2.$$
б) Нет решений, если $$-1<a<1$$; $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$, если $$a=-\sqrt2$$; $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$, если $$a=\sqrt2$$; $$x=\pm \arccos\frac1a+2\pi n$$, если $$a<-\sqrt2,\ -\sqrt2<a\le -1,\ 1\le a<\sqrt2,\ a>\sqrt2.$$
