Упр.23.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) (2sin2 x — 2sin x + 1)/(cos2 x — cos x) = 0 б) (4sin3 2x — 3sin 2x)/cos 3x = 0

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2\sin^2 x-3\sin x+1}{\cos^2 x-\cos x}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$2\sin^2 x-3\sin x+1=0,$$

$$\cos^2 x-\cos x=\cos x(\cos x-1)\ne 0.$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-3y+1=0,$$

$$D=9-8=1,$$

$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

1) Если $$\sin x=\frac12,$$ то

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Проверим условие $$\cos x\ne 0$$: при этих значениях $$x$$ оно выполняется.

2) Если $$\sin x=1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Но тогда $$\cos x=0,$$ значит, знаменатель обращается в нуль. Эти решения не подходят.

Следовательно, для пункта а):

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{4\sin^3 2x-3\sin 2x}{\cos 3x}=0.$$

Тогда

$$4\sin^3 2x-3\sin 2x=0,$$

$$\cos 3x\ne 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin 2x\,(4\sin^2 2x-3)=0.$$

Отсюда:

1) $$\sin 2x=0,$$ значит

$$2x=\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Проверим знаменатель:

$$\cos 3x=\cos\frac{3\pi n}{2}\ne 0$$

только при чётных $$n$$. Тогда

$$x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

2) $$4\sin^2 2x-3=0,$$ значит

$$\sin^2 2x=\frac34,$$

$$\sin 2x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Проверим условие $$\cos 3x\ne 0$$. Подходят только те значения, при которых

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Объединяя обе серии решений, получаем

$$x=\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$