Упр.23.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin6 x + sin4 x cos2 x = sin3 x cos3 x + sin x cos5 x; 6) sin2 x cos2 x — 10 sin x cos3 x + 21 cos4 x = 0.

1. а) Обозначим $$a=\sin x,$$ $$b=\cos x.$$ Тогда уравнение примет вид

   $$a^6+a^4b^2=a^3b^3+ab^5.$$

   Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

   $$a^6-a^3b^3+a^4b^2-ab^5=0,$$

   $$a^3(a^3-b^3)+ab^2(a^3-b^3)=0,$$

   $$\left(a^3+ab^2\right)\left(a^3-b^3\right)=0.$$

   Получаем два уравнения:

   $$a^3+ab^2=0,$$

   $$a^3-b^3=0.$$

   Первое уравнение:

   $$\sin^3 x+\sin x\cos^2 x=0,$$

   $$\sin x(\sin^2 x+\cos^2 x)=0,$$

   $$\sin x=0,$$

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Второе уравнение:

   $$\sin^3 x-\cos^3 x=0,$$

   $$\sin^3 x=\cos^3 x,$$

   $$\tg^3 x=1,$$

   $$\tg x=1,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) Вынесем общий множитель:

   $$\sin^2 x\cos^2 x-10\sin x\cos^3 x+21\cos^4 x=0,$$

   $$\cos^2 x\left(\sin^2 x-10\sin x\cos x+21\cos^2 x\right)=0.$$

   Отсюда либо

   $$\cos x=0,$$

   либо

   $$\sin^2 x-10\sin x\cos x+21\cos^2 x=0.$$

   Если $$\cos x\ne 0,$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x-10\tg x+21=0.$$

   Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

   $$y^2-10y+21=0,$$

   $$D=100-84=16,$$

   $$y_{1,2}=\frac{10\pm4}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=7,$$

   откуда

   $$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\arctg 7+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   При $$\cos x=0$$ получаем

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \arctg 7+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$