Упр.23.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) (sin x + cos x)/cos 2x = 0 б) ctg x + sin x/(1+cos x) = 2 в) (cos2 x + cos x)/sin x = 0 г) tg x/(1+tg2 x) = cos x

Подробный ответ

$$\frac{\sin x+\cos x}{\cos 2x}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$\sin x+\cos x=0$$
$$\cos x(\tg x+1)=0$$
Отсюда либо $$\cos x=0$$, либо $$\tg x=-1$$.
Если $$\cos x=0$$, то $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, но тогда $$\cos 2x=\cos(\pi+2\pi n)=-1\neq 0$$, однако в уравнении числитель при этих значениях не обращается в нуль. Проверка показывает, что решений нет.
Если $$\tg x=-1$$, то $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$. Но при этих значениях
$$\cos 2x=\cos\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)=0,$$
то есть выражение не имеет смысла.
Следовательно, корней нет.
$$\ctg x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=2$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}=2$$
$$\frac{\cos x(1+\cos x)+\sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)}=2$$
$$\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)}=2$$
$$\frac{\cos x+1}{\sin x(1+\cos x)}=2$$
С учётом области допустимых значений $$1+\cos x\neq 0$$, получаем:
$$\frac{1}{\sin x}=2$$
$$\sin x=\frac12$$
Тогда
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\frac{\cos^2 x+\cos x}{\sin x}=0$$
Для существования выражения нужно, чтобы $$\sin x\neq 0$$.
Числитель равен нулю:
$$\cos^2 x+\cos x=0$$
$$\cos x(\cos x+1)=0$$
Отсюда:
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$;
2) $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$.
Но при $$x=\pi+2\pi n$$ имеем $$\sin x=0$$, поэтому эти значения не подходят.
Остаются только значения
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\frac{\tg x}{1+\tg^2 x}=\cos x$$
Используем формулу $$1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$:
$$\frac{\tg x}{1+\tg^2 x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos^2 x=\sin x\cos x$$
Тогда уравнение принимает вид
$$\sin x\cos x=\cos x$$
$$\cos x(\sin x-1)=0$$
Отсюда либо $$\cos x=0$$, либо $$\sin x=1$$.
Но при $$\cos x=0$$ левая часть исходного выражения не определена, а при $$\sin x=1$$ также $$\cos x=0$$, и выражение снова не имеет смысла.
Следовательно, корней нет.