Упр.23.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) |cos х| = 2 cos x — корень3 sin x; б) sin x = корень3 cos x + 2 |sin х|.

а) $$|\cos x|=2\cos x-\sqrt{3}\sin x$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\cos x>0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и получаем

   $$\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x,$$

   $$\cos x-\sqrt{3}\sin x=0.$$

   Так как $$\cos x\neq 0,$$ делим на $$\cos x$$:

   $$1-\sqrt{3}\tg x=0,$$

   $$\tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   С учётом условия $$\cos x>0$$ подходит

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

   $$-\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x,$$

   $$3\cos x-\sqrt{3}\sin x=0.$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$3-\sqrt{3}\tg x=0,$$

   $$\tg x=\sqrt{3}.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   С учётом условия $$\cos x<0$$ получаем

   $$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

б) $$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2|\sin x|$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и

   $$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2\sin x,$$

   $$-\sin x=\sqrt{3}\cos x,$$

   $$\tg x=-\sqrt{3}.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   С учётом условия $$\sin x>0$$ подходит

   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и

   $$\sin x=\sqrt{3}\cos x-2\sin x,$$

   $$3\sin x-\sqrt{3}\cos x=0.$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$3\tg x-\sqrt{3}=0,$$

   $$\tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   С учётом условия $$\sin x<0$$ получаем

   $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z};$$

б) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$