Упр.23.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) |ctgx| = ctg x + 1/sin x б) tg x + 1/9ctg x = корень(1/cos2 x-1) — 1

а) Рассмотрим уравнение $$|\ctg x|=\ctg x+\frac{1}{\sin x}.$$

Если $$\ctg x\ge 0,$$ то $$|\ctg x|=\ctg x,$$ и получаем

$$\ctg x=\ctg x+\frac{1}{\sin x},$$

откуда

$$\frac{1}{\sin x}=0,$$

что невозможно. Значит, при $$\ctg x\ge 0$$ решений нет.

Если $$\ctg x<0,$$ то $$|\ctg x|=-\ctg x,$$ и тогда

$$-\ctg x=\ctg x+\frac{1}{\sin x},$$

$$\frac{1}{\sin x}=-2\ctg x=-2\frac{\cos x}{\sin x}.$$

Так как $$\sin x\ne 0,$$ умножаем на $$\sin x$$:

$$1=-2\cos x,$$

$$\cos x=-\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим условие $$\ctg x<0.$$

При $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ имеем $$\ctg x<0,$$ а при $$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ также получаем те же значения, поэтому решения можно записать как

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Решим уравнение

$$\tg x+\frac{1}{9}\ctg x=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}-1}-1.$$

Так как

$$\frac{1}{\cos^2 x}-1=\tg^2 x,$$

то правая часть равна $$|\tg x|-1.$$ Тогда

$$\tg x+\frac{1}{9}\ctg x=|\tg x|-1.$$

Пусть $$y=\tg x,$$ тогда $$y\ne 0$$ и

$$y+\frac{1}{9y}=|y|-1.$$

1) Если $$y>0,$$ то $$|y|=y,$$ и

$$y+\frac{1}{9y}=y-1,$$

$$\frac{1}{9y}=-1,$$

$$y=-\frac{1}{9},$$

что противоречит условию $$y>0.$$ Решений нет.

2) Если $$y<0,$$ то $$|y|=-y,$$ и

$$y+\frac{1}{9y}=-y-1,$$

$$2y+\frac{1}{9y}+1=0.$$

Умножим на $$9y$$:

$$18y^2+9y+1=0.$$

Дискриминант:

$$D=9^2-4\cdot 18\cdot 1=81-72=9.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 3}{36},$$

$$y_1=-\frac{1}{3},\quad y_2=-\frac{1}{6}.$$

Оба значения подходят, так как $$y<0.$$ Следовательно,

$$\tg x=-\frac{1}{3}\quad \text{или}\quad \tg x=-\frac{1}{6}.$$

Отсюда

$$x=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=-\arctg\frac{1}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\arctg\frac{1}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$